De harmonic reeks 1+1/2+1/3+1/4+⋯ diverges, maar het groeit incredibly langzaam. Na een million termen het barely reaches 14. De natural logarithm ln (n) groeit bij de zelfde rate. De Euler-Mascheroni constante γ is de precise gap tussen them: γ=lim (1+1/2+1/3+⋯+1/n)-ln (n).
De difference tussen-de harmonic som en ln (n) nadert γ ≈ 0. 5772 als n → ∞. Convergence is zeer slow — de gap is nog 0. 001 at n=1000.
γ verschijnt doorheen analyse en getal theory. Het links de harmonic reeks naar de Riemann-zètafunctie: γ=-ζ ' (1) in een formal sense. Het verschijnt in de gammafunctie Γ ' (1)=-γ, in de verdeling van prime gaps, in Bessel functies, en in de asymptotic expansion de digamma functie.
Of γ is rationaal of irrationaal is één de oldest open probleems in wiskunde. Almost elke wiskundige believes het is transcendent, maar geen bewijs bestaat. Het heeft been berekend naar over 600 billion-decimale places: 0. 57721566490153286060651209008240243…
De harmonic partiële sommen H (n) (red, stepped) versus ln (n)+γ (blue, smooth). De gap tussen them nadert 0 maar oscillates: H (n)−ln (n) → γ.
De Euler-Mascheroni constante gamma is ongeveer 0. 57721566490153286060. Of het is rationaal of irrationaal is onbekend, één de meeste beroemde open probleems in wiskunde. Euler eerste publiceerde het in 1734; Mascheroni berekend het independently in 1790. Gamma verschijnt in de gammafunctie, de Riemann-zètafunctie, Mertens stelling op prime products, Bessel functies, en-de verdeling van prime gaps. Since geen streaming algorithm bestaat, zijn cijfers zijn pre-berekend en stored.
Euler-Mascheroni-constante γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the limiet van harmonische reeks minus logaritme.