De functie e^(−x²) is de klokkromme: ze piekt bij 1 wanneer x=0 en daalt symmetrisch naar 0 in beide richtingen. De oppervlakte onder het over de gehele reële lijn is gelijk aan precies √ π ≈ 1.7724. Dit is opmerkelijk: e en π, meestal tegengekomen in afzonderlijke contexten, zijn verenigd in de eenvoudigste integraal van waarschijnlijkheid theory.
De integraal van e^(−x²) over alle x is √π ≈ 1,7725. Dit is de Gauss-integraal.
De bewijs is één van mathematics' meeste elegante tricks. Let I=∫ e^(−x²) dx. Compute I ² door schrijven het als een double integraal over x en y, dan switch naar polaire coördinaten r, θ. De integrand becomes e^(−r ²) en-de oppervlakte element becomes r · dr · d θ. De r makes de integraal elementary: ∫ ₀^∞ re^(−r ²) dr=1/2. Multiplying door ∫ ₀^(2 π) d θ=2 π geeft I ²=π, dus I=√ π.
De normale verdeling, de central limiet stelling, kwantum wave functies (die gebruik Gaussian wave packets), en Stirling's approximation voor factorials alle rest op dit single integraal. De waarde √ π verschijnt waar e^(−x²) is integrated, die turns out naar be almost everywhere in continuous waarschijnlijkheid.
De Gauss-integraal: de integraal van-infinity naar+infinity van e^(-x^2) dx=sqrt (pi). De elegante bewijs squares de integraal, converts naar polaire coördinaten, en evalueert het precies. Dit is de key calculation behind de normale verdeling: de waarschijnlijkheid density (1/sqrt (2*pi))*e^(-x^2/2) integrates naar 1. De Gaussian functie verschijnt in kwantum mechanica, heat diffusion, Stirling's approximation, en-de central limiet stelling.