Tel de reciproquen van alle priemgetallen tot en met n op: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Deze som groeit, maar ongelooflijk langzaam, namelijk als ln(ln(n)). De Meissel-Mertens-constante M is precies het verschil tussen die som en haar leidende term, net zoals de Euler-Mascheroni-constante γ het verschil meet tussen de harmonische reeks en ln(n).
Euler bewees in 1737 dat de som van alle reciproquen van priemgetallen divergeert. Dat is aanzienlijk subtieler dan alleen aantonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn, en het geeft een kwantitatieve maat voor hoe dicht de priemgetallen liggen. De stelling van Mertens zegt vervolgens: Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n). Daarmee is M precies de constante term in de asymptotiek.
Vergelijking van de Euler-Mascheroni-constante en de Meissel-Mertens-constante.
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| alle ganzen Zahlen | nur Primzahlen |
M en γ hangen samen via M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Of één van deze twee constanten irrationaal is, weten we niet. Beide zijn tot miljarden decimalen berekend en beide worden waarschijnlijk transcendent geacht, maar voor geen van beide bestaat een bewijs. M begint met 0,261497212847642783755426838608669…
De harmonische som bereikt 2,93, 5,19, 7,49 en 9,79. De som van de priemreciproquen, die groeit als ln(ln(n))+M, ligt op diezelfde punten slechts rond 0,84, 1,18, 1,52 en 1,85.
De Euler-Mascheroni-constante γ meet het verschil tussen de harmonische reeks 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n en ln(n). De Meissel-Mertens-constante M speelt precies dezelfde rol voor de som van de reciproquen van de priemgetallen 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p in vergelijking met ln(ln(n)). Beide zijn dus correctieconstanten bij divergente reeksen met logaritmische groei.
De Meissel-Mertens-constante M ≈ 0,26149 speelt voor priemreciproquen dezelfde rol die de Euler-Mascheroni-constante voor de harmonische reeks speelt. Mertens bewees in 1874 dat 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + een kleine foutterm. Of M irrationaal is, blijft onbekend. De constante verschijnt in de stellingen van Mertens over priemproducten en in de dichtheid van gladde getallen. M en γ zijn verbonden door een expliciete som over alle priemgetallen.