De Riemann-zètafunctie is ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler bestudeerde de reële versie en vond ζ(2) = π²/6, dus het Baselse probleem, en ook de productformule ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) over alle priemgetallen. Riemann breidde de functie in zijn beroemde artikel uit 1859 uit naar complexe getallen.
Tabel van waarden van de zètafunctie bij geselecteerde gehele getallen.
| s | ζ(s) | exacte vorm |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | onbekend, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviale nulpunten |
Riemanns beslissende inzicht was om ζ(s) uit te breiden naar complexe waarden s. De niet-triviale nulpunten, dus punten met ζ(s) = 0 en 0 < Re(s) < 1, sturen de verdeling van de priemgetallen. Elk nulpunt draagt een oscillatie bij aan de priemtelfunctie. Riemann vermoedde in 1859 dat alle niet-triviale nulpunten op de lijn Re(s) = 1/2 liggen. Dat is de Riemann-hypothese.
Meer dan 10 biljoen niet-triviale nulpunten zijn al gecontroleerd op de lijn Re(s) = 1/2. Er is nooit een tegenvoorbeeld gevonden. Het Clay Mathematics Institute biedt 1 miljoen dollar voor een bewijs of tegenbewijs. Een bewijs zou de scherpst mogelijke foutschatting voor de verdeling van priemgetallen opleveren. De Riemann-hypothese is al 165 jaar onbewezen.
De Riemann-zètafunctie voldoet aan een symmetrie: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Daardoor kan zeta worden voortgezet naar alle complexe getallen s behalve s = 1, en wordt de waarde bij s gekoppeld aan de waarde bij 1-s. Dat laat zien dat niet-triviale nulpunten in paren voorkomen: is s een nulpunt, dan ook 1-s. De triviale nulpunten bij s = -2, -4, -6, ... komen van de factor sin(pi*s/2).
De Riemann-zètafunctie is ζ(s) = Σ 1/n^s, aanvankelijk gedefinieerd voor Re(s) > 1 en daarna analytisch voortgezet naar bijna alle complexe s. Euler bewees ζ(2) = π²/6 en ontdekte de productformule over de priemgetallen. Riemann liet in 1859 zien dat de niet-triviale nulpunten de verdeling van de priemgetallen sturen. De Riemann-hypothese stelt dat al die nulpunten op Re(s)=1/2 liggen. Een bewijs of weerlegging behoort tot de Millenniumproblemen en is goed voor 1 miljoen dollar.