√2 is de lengte van de diagonaal van een eenheidsvierkant. Neem een vierkant met zijden van lengte 1. De afstand van een hoek naar de tegenoverliggende hoek is precies √2. Dat volgt direct uit de stelling van Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
De Pythagoreeërs ontdekten rond 500 v.Chr. dat √2 niet als breuk p/q met gehele getallen p en q kan worden geschreven. Het bewijs uit het ongerijmde is elegant: neem aan dat √2 = p/q in volledig gereduceerde vorm. Dan geldt 2q² = p², dus p² is even en daarmee p zelf even, dus p = 2k. Dan volgt 2q² = 4k² en dus q² = 2k², zodat ook q even is. Dat spreekt tegen dat p/q al volledig vereenvoudigd was. Dus is √2 irrationaal.
Convergenten van de kettingbreuk [1; 2, 2, 2, …]. Elke breuk is de beste rationale benadering met die noemer.
Convergenten van √2 uit de kettingbreuk.
| Breuk | Decimaal | Fout |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 is algebraïsch, omdat het voldoet aan x² = 2, maar tegelijk irrationaal. In de trigonometrie geldt sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. De A-papierreeks, dus A4, A3, A2 enzovoort, gebruikt de verhouding 1:√2 zodat een dubbelgevouwen vel dezelfde proporties behoudt. Volledige waarde: 1,41421356237309504880168872…
Elke rechthoekige driehoek heeft één rechthoekszijde gelijk aan de vorige hypotenusa en één zijde gelijk aan 1. De hypotenusen zijn √1, √2, √3, √4, √5… De meeste zijn irrationaal. √2, rood gemarkeerd, was het eerste getal waarvan de irrationaliteit werd bewezen, door de Pythagoreeërs rond 500 v.Chr.
De wortel uit 2 is ongeveer 1,41421356237309504880. Het was het eerste getal waarvan ooit werd bewezen dat het irrationaal is, door de Grieken rond 500 v.Chr. Het is algebraïsch en voldoet aan x² = 2. Het verschijnt als de diagonaal van een eenheidsvierkant, in gelijkzwevende stemming in de muziek, in de A-papierformaten en overal waar in de stelling van Pythagoras beide rechthoekszijden even lang zijn.
Wortel uit 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the kettingbreuk.