In elke rechthoekige driehoek is het kwadraat op de hypotenusa, de zijde tegenover de rechte hoek, gelijk aan de som van de kwadraten op de twee andere zijden. Als de rechthoekszijden a en b zijn en de hypotenusa c, dan geldt a² + b² = c². Een 3-4-5-driehoek voldoet dus aan 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Voor de 3-4-5-driehoek geldt 9 + 16 = 25. De blauwe en rode vierkanten samen hebben dezelfde oppervlakte als het groene vierkant.
Babylonische kleitabletten uit 1900 v.Chr. bevatten Pythagoreïsche drietallen zoals 3,4,5, 5,12,13 en 8,15,17. Dat laat zien dat de relatie al lang vóór Pythagoras empirisch bekend was. Zijn school rond 570 v.Chr. gaf het eerste bewijs. Inmiddels kent men meer dan 370 verschillende bewijzen: algebraïsche, geometrische, trigonometrische en zelfs één gepubliceerd door de latere Amerikaanse president James Garfield in 1876.
Tabel van Pythagoreïsche drietallen.
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
In n dimensies is de afstand van de oorsprong tot het punt (x₁, x₂, …, xₙ) gelijk aan √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Fermats laatste stelling, in 1995 bewezen door Andrew Wiles na 358 jaar, zegt dat er voor exponenten groter dan 2 geen gehele oplossingen van aⁿ + bⁿ = cⁿ bestaan. De stelling van Pythagoras is precies het geval n = 2, en alleen daar zijn er oneindig veel gehele oplossingen.
Beide grote vierkanten hebben zijde a+b. Beide bevatten vier identieke rechthoekige driehoeken. In het linkervierkant blijft c² over; in het rechter a²+b². Dus moeten die oppervlakken gelijk zijn.
In elke rechthoekige driehoek geldt a^2 + b^2 = c^2. De Babyloniërs kenden de relatie al empirisch rond 1800 v.Chr.; een eerste bewijs werd waarschijnlijk geleverd door de Pythagoreeërs rond 570 v.Chr. Er bestaan meer dan 370 verschillende bewijzen, waaronder één van de Amerikaanse president James Garfield uit 1876. Gehele oplossingen heten Pythagoreïsche drietallen en worden volledig beschreven door (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Fermats laatste stelling, in 1995 bewezen door Wiles, toont dat er voor exponenten boven 2 geen analoge gehele oplossingen bestaan. In n dimensies wordt dit de Euclidische afstandsformule.