Een getal is transcendent als het geen wortel is van een polynoomvergelijking met gehele coëfficiënten. π voldoet niet aan een vergelijking zoals x^2 - 3x + 1 = 0. e ook niet. Deze getallen liggen buiten het bereik van de algebra. Hoewel het moeilijk is om expliciete voorbeelden te geven, zijn transcendente getallen de regel en niet de uitzondering: bijna elk reëel getal is transcendent.
Elk rationaal getal is algebraïsch. Elk algebraïsch getal is reëel. Maar de transcendente getallen, buiten de algebraïsche ring, zijn veel talrijker dan alle algebraïsche getallen samen.
Van de kunstmatige constructie van Liouville in 1844 tot de stelling van Gelfond en Schneider in 1934 groeide de theorie van transcendentie uit van curiositeit tot een belangrijk deelgebied van de getaltheorie.
Tabel van algebraïsche getallen met hun minimale polynomen tegenover transcendente getallen zonder zo’n polynoom.
| GETAL | MINIMAAL POLYNOOM |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | geen polynoom bestaat |
| e = 2,71828... | geen polynoom bestaat |
| e^π = 23,1406... | geen polynoom bestaat |
Een getal is transcendent als het aan geen enkele polynoomvergelijking met gehele coëfficiënten voldoet. Liouville gaf in 1844 het eerste expliciete voorbeeld. Hermite bewees in 1873 dat e transcendent is. Lindemann bewees in 1882 dat π transcendent is en toonde daarmee definitief aan dat de klassieke kwadratuur van de cirkel onmogelijk is. De stelling van Gelfond-Schneider uit 1934 zegt dat a^b transcendent is wanneer a algebraïsch is en niet 0 of 1, en b algebraïsch maar irrationaal. Hoewel transcendente getallen de regel zijn, blijft het extreem moeilijk om voor een concreet getal transcendentie te bewijzen.