De harmonische reeks is de som van alle eenheidsbreuken. Elke term 1/n gaat naar nul, wat doet vermoeden dat de som zou kunnen convergeren, maar dat gebeurt niet. Het bewijs gebruikt groepering: 1/3+1/4 > 1/2, daarna 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, en elke zo’n groep draagt minstens 1/2 bij. Daardoor overschrijdt de som elke grens. Toch divergeert ze buitengewoon langzaam: om een partiële som van 100 te bereiken zijn er meer termen nodig dan er atomen zijn in het waarneembare heelal.
H(n) en ln(n) groeien samen en verschillen steeds ongeveer met γ ≈ 0,5772. Beide divergeren: om H(n) = 100 te bereiken zijn ongeveer 10^43 termen nodig.
Voor H(n)=100 zijn ongeveer 10^43 termen nodig. Dat zijn meer dan atomen in het waarneembare heelal.
De harmonische reeks 1 + 1/2 + 1/3 + ... divergeert; Nicole Oresme bewees dat rond 1350. Hoewel elke term naar nul gaat, groeit de som voorbij elke grens. De partiële sommen groeien als ln(n) + gamma, waarbij gamma ≈ 0,5772 de Euler-Mascheroni-constante is. Na een miljoen termen is de som nog maar ongeveer 14. Om 100 te bereiken zijn meer dan 10^43 termen nodig. De alternerende reeks 1 - 1/2 + 1/3 - ... convergeert daarentegen naar ln 2.