De Moivre's stelling says dat raising een punt op de eenheidscirkel naar de nth macht simply multiplies zijn hoek door n. Als you start bij hoek θ en apply de operation n maal, you end bij hoek n θ. Dit is de geometric heart van complex getal arithmetic.
Vermenigvuldigen met cos x + i sin x roteert; tot de n-de macht vermenigvuldigt de hoek zich met n.
De stelling volgt instantly van De formule van Euler e^(i θ)=cos θ+i sin θ. Raising beide sides naar de macht n: (e^(i θ)) ⁿ=e^(in θ)=cos (n θ)+i sin (n θ). De Moivre stated his result in 1707, 41 jaar voor Euler publiceerde de formule, waardoor de bewijs feel zoals magic eerder dan mechanica.
De 6 th wortels van unity form een regular hexagon op de eenheidscirkel. De nth wortels van z^n=1 always form een regular n-gon, equally spaced at hoeken 2 π k/n=τ k/n.
De Moivre's stelling is de key tool voor computing machten en wortels van complexe getallen, deriving multiple-hoek formules (cos 3 θ=4 cos ³ θ-3 cos θ), en finding de n equally-spaced nth wortels van any complex getal. Het verbindt de algebra van complexe getallen naar de meetkunde van rotatie.
Wanneer you multiply twee complexe getallen, their hoeken (arguments) tel op en their magnitudes multiply. Als both getallen sit op de eenheidscirkel (grootte 1), alleen-de hoeken change. Multiplying n maal adds de hoek n maal: dat is De Moivre's stelling.
De Moivre's stelling toont dat cos (n*theta) can always be written als een polynomial in cos (theta). Deze zijn-de Chebyshev polynomials T _ n: T _ n (cos theta)=cos (n*theta). Voor example, cos (2*theta)=2*cos^2 (theta)-1, dus T _ 2 (x)=2 x^2-1. They verschijnen in numerical analyse, filter design, en approximation theory.