Een kettingbreuk expresses een getal als een geheel getal plus de reciprocal van een andere kettingbreuk. Elke reëel getal heeft een unique kettingbreuk expansion. Rationaal getallen terminate; quadratic irrationals repeat periodically; transcendentals zoals pi hebben geen pattern. De convergents (rationaal approximations formed door truncating) zijn provably de best approximations van any rationaal met dat size denominator.
Table comparing kettingbreuken van phi sqrt 2 e en pi tonend die zijn periodic en die zijn irregular
| KONSTANTE | KB-NOTATION | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodisch |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodisch |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodisch |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | Muster |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | kein Muster |
| Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irrational ist (Lagrange, 1770) | ||
| phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz |
Table van convergents van pi tonend increasingly accurate rational approximations met small denominators
| KONVERGENT | DEZIMAL | FEHLER |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate boven en onder π. Elke is de best rational approximation met dat denominator of smaller.
Elke reëel getal heeft een unique kettingbreuk expansion. Rationaal getallen hebben eindige expansions. Quadratic irrationals (zoals sqrt (2) en phi) hebben eventually periodic expansions. Transcendentals zoals pi hebben geen pattern. De convergents van een kettingbreuk zijn-de best rationaal approximations: 22/7 en 355/113 zijn convergents van pi, matching het naar 2 en 6 decimale places respectively. Phi=[1; 1, 1, 1,...] is de hardest getal naar benaderde, waardoor het de meeste irrationaal in een precise sense.