De wiskunde heeft vijf hoofdgetallenstelsels opgebouwd, waarbij elk stelsel een uitbreiding is van het vorige. Elke uitbreiding werd gemotiveerd door een vergelijking die eerder onoplosbaar was: “Wat is 3-5?” dwingt de gehele getallen af, “Wat is 1/3?” de rationale getallen, “Wat is √2?” de reële getallen en “Wat is √(-1)?” de complexe getallen.
Tabel van eigenschappen die bij uitbreiding van de getallenstelsels bijkomen of veranderen.
| SYSTEM | GEWONNEN | VERLOREN ODER VERÄNDERT |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
Blauw: natuurlijke getallen ℕ. Groen voegt 0 toe. Paars breidt uit met de negatieve gehele getallen ℤ. Oranje vult aan met breuken ℚ. Rood: irrationale getallen vullen de rest van ℝ.
De wiskunde kent vijf hoofdgetallenstelsels: natuurlijke getallen N, dus tellen zonder aftrekken; gehele getallen Z, die aftrekken en negatieve getallen toevoegen; rationale getallen Q, die delen mogelijk maken; reële getallen R, die limieten en irrationale getallen bevatten; en complexe getallen C, die √(-1) toevoegen. Elke uitbreiding loste een vergelijking op die in het vorige stelsel geen oplossing had. De complexe getallen zijn algebraïsch gesloten, dus elke polynoomvergelijking heeft in C een oplossing. De inclusies zijn echt: N ligt in Z, Z in Q, Q in R en R in C.