ζ (3) is de waarde de Riemann-zètafunctie bij 3: de som van 1/n³ over alle positieve gehele getallen. Voor even argumenten, Euler vond mooie gesloten vormen: ζ (2)=π²/6, ζ (4)=π⁴/90, ζ (6)=π⁶/945. Voor oneven argumenten, zo’n formule bestaat niet. Of ζ (3) bevat π bij alle is onbekend.
z(3) ligt tussen twee waarden met bekende gesloten vormen waarin pi voorkomt. Of z(3) zelf pi bevat, is nog onbekend.
In 1978, Roger Apéry announced een bewijs dat ζ (3) is irrationaal. De publiek was sceptical. Henri Cohen en andere wiskundigen raced home naar check het op computers overnight. Door de next ochtend they bevestigden het was correct. " Het was zoals thunder in een clear sky, " said één aanwezige. Apéry was 64 jaar oud.
De partiële sommen 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... naderen ζ(3) ≈ 1,20206 van onderaf. De convergentie is traag: zelfs bij n=50 ligt de som nog 0,003 eronder.
Of ζ (3) can be expressed in termen van π is de outstanding open vraag. Alle even zeta waarden zijn rationaal multiples de corresponding macht van π. Oneven zeta waarden seem naar live in een verschillende world. Infinitely veel oneven waarden ζ (2 n+1) zijn bekend naar be irrationaal (Rivoal, 2000), maar de exacte pattern blijft mysterious. Volledige waarde: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ (2 k)=rationaal getal × π^(2 k) voor alle even k. Euler bewees dit voor alle even waarden. Maar ζ (3), ζ (5), ζ (7)... zijn completely verschillende. ζ (3) is irrationaal (Apéry), maar geen relatie naar π is bekend. Het may be truly onafhankelijk van π.
Tabel die laat zien dat zeta op even gehele getallen bekende pi-breuken zijn, terwijl de oneven waarden onbekend zijn.
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unbekannt |
| Alle = rational × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
Onbekend. Roger Apery bewees in 1978 dat zeta (3) is irrationaal, maar of het is transcendent blijft een open probleem. Het is algemeen geloofd naar be transcendent, maar geen bewijs bestaat.
In kwantum electrodynamics (corrections naar de electron magnetic moment), random matrix theory, en-de entropie van een twee-dimensional Ising model. Het verschijnt in de Fermi-Dirac en Bose-Einstein distributions in statistical mechanica.
Ramanujan vond snel convergerend reeks voor zeta (3), waaronder een formule involving 7 pi^3/180 en sommen over exponentials. His notitieboeken contained tientallen van identiteiten related naar zeta (3), meeste bewees alleen-decades na his dood.
Gehele getallen Een (n)=som van C (n, k)^2 C (n+k, k)^2 over k, die verschijnen in Apery's bewijs van irrationaliteit. De eerste few zijn 1, 5, 73, 1445, 33001. They satisfy een recurrence relatie en groeien in een way dat forces de denominators van partiële sommen van 1/n^3 naar cancel specifieke factors, waardoor de limiet irrationaal.
Apery's constante zeta (3) is de som 1+1/8+1/27+1/64+...=1. 20205690315959. Voor even waarden van s, Euler vond gesloten vormen involving pi: zeta (2)=pi^2/6, zeta (4)=pi^4/90. Voor oneven waarden geen zulke formule is bekend. Roger Apery bewees zeta (3) is irrationaal in 1978 bij leeftijd 64. Of het is transcendent, of expressible in termen van pi, blijft onbekend.