Elk reëel getal heeft een kettingbreuk: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). De gehele getallen a₁, a₂, a₃, … heten partiële noemers. Voor π zijn dat 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Voor √2 zijn het 1; 2, 2, 2, 2, 2… dus periodiek alleen maar tweeën. Khinchin bewees in 1934 dat voor bijna elk reëel getal het meetkundig gemiddelde van deze partiële noemers naar dezelfde constante K₀ ≈ 2,68545 convergeert.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). De partiële noemer 1 verschijnt in ongeveer 41 procent van alle kettingbreukontwikkelingen van willekeurige reële getallen.
De formule voor K₀ is K₀ = ∏(k=1 tot ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) en convergeert extreem langzaam. Khinchins stelling is een voorbeeld van een resultaat dat voor bijna elk getal geldt, maar zich toch voor geen enkele concreet bekende constante laat verifiëren. Tot op heden kunnen we geen expliciet voorbeeld geven van een getal waarvan bewezen is dat het eraan voldoet.
Al bij k=3 is meer dan twee derde van alle partiële noemers afgedekt. De rij nadert langzaam 1.
Dat de 1 met ongeveer 41,5 procent domineert, verklaart waarom K₀ ≈ 2,685 kleiner is dan 3: de kleine waarden trekken het meetkundig gemiddelde omlaag. Als de cijfers 1 tot en met 9 allemaal even waarschijnlijk waren, dan zou het meetkundig gemiddelde (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15 zijn. De sterke weging ten gunste van 1 maakt K₀ dus aanzienlijk kleiner.
Khinchins constante K₀ ≈ 2,68545 is een universele limiet: voor bijna elk reëel getal x = [a₀; a₁, a₂, ...] convergeert het meetkundig gemiddelde van de partiële noemers (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) naar K₀. Khinchin bewees dit in 1934. Het verbazingwekkende is de universaliteit: bijna elk getal deelt hetzelfde meetkundige gemiddelde, en toch kan dat voor geen enkele bekende constante zoals π of e worden bewezen. Of K₀ algebraïsch of transcendentaal is, is onbekend.