Schrijf π(n) voor het aantal priemgetallen tot en met n. De priemgetalstelling zegt dat π(n) groeit als n/ln(n). Naarmate n groter wordt, is ongeveer 1 op elke ln(n) getallen in de buurt van n priem. Rond één miljoen is grofweg 1 op 14 getallen priem. Rond één miljard is dat 1 op 21.
π(n) telt de priemgetallen tot en met n als blauwe trappenfunctie. De priemgetalstelling zegt dat π(n) ~ n/ln(n), dus dat hun verhouding voor n → ∞ naar 1 gaat. De logaritmische integraal Li(n) ligt nog dichter in de buurt.
Gauss vermoedde dit resultaat rond 1800 na het bestuderen van priemtabellen. Het werd in 1896 onafhankelijk bewezen door Jacques Hadamard en Charles-Jean de la Vallée Poussin, beide met behulp van de Riemann-zètafunctie en complexe analyse. Een volledig elementair bewijs, dus zonder complexe analyse, werd in 1948 onafhankelijk gevonden door Selberg en Erdős.
Tabel met de dichtheid van priemgetallen op verschillende schalen.
| Tot n | Priemgetallen π(n) | Dichtheid ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 op 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 op 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 op 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 op 28 |
De Riemann-hypothese zou de scherpst mogelijke foutgrens geven: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Zonder die hypothese weten we alleen dat de fout o(n/ln(n)) is. Daarom geldt de Riemann-hypothese als het belangrijkste open probleem in de wiskunde: ze zou precies aangeven hoe voorspelbaar priemgaten zijn.
Een nauwkeurigere benadering van π(n) dan n/ln(n) is de logaritmische integraal Li(n) = integraal van 2 tot n van dt/ln(t). Gauss gaf hier de voorkeur aan. Voor n = 1.000.000 geeft n/ln(n) de waarde 72.382, terwijl Li(n) 78.628 geeft, tegenover het exacte aantal 78.498. De fout van Li(n) is veel kleiner. De Riemann-hypothese zou deze fout scherp begrenzen door √n · ln(n).