De som van ALLE delers, inclusief n zelf, is gelijk aan het dubbele van het getal.
Een volmaakt getal is gelijk aan de som van al zijn echte delers, dus alle delers behalve zichzelf. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Zulke getallen zijn buitengewoon zeldzaam. Er zijn er slechts 51 bekend, allemaal even, en ze groeien astronomisch snel. Of er überhaupt een oneven volmaakt getal bestaat, is een van de oudste open problemen in de wiskunde.
De eerste vier volmaakte getallen: portretten van hun delers
Stelling van Euclides en Euler: even volmaakte getallen ↔ Mersenne-priemgetallen
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.
Volmaakte getallen op logaritmische schaal: ze groeien sneller dan exponentieel
Hier worden log10-waarden getoond. Zelfs op logaritmische schaal is elke sprong dramatisch groter. Het 51e volmaakte getal heeft meer dan 49 miljoen cijfers.
Een volmaakt getal is gelijk aan de som van zijn echte delers: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclides liet zien dat 2^(p-1)·(2^p-1) volmaakt is zodra 2^p-1 priem is. Euler bewees de omkering: elk even volmaakt getal heeft precies deze vorm. Of er een oneven volmaakt getal bestaat behoort tot de oudste onopgeloste problemen. Tot nu toe is er geen enkel gevonden. Alle 51 bekende volmaakte getallen zijn even en corresponderen met de 51 bekende Mersenne-priemgetallen.