De benadering van Stirling zegt dat voor grote n geldt: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Het is opvallend dat zowel π als e in een formule over het tellen van permutaties verschijnen. Voor n = 10 ligt de fout onder 1 procent. Voor n = 100 ligt die onder 0,1 procent. De formule wordt onbeperkt beter naarmate n groeit.
De relatieve fout |n! − Stirling(n)| / n! daalt onder 1 procent bij n = 8 en onder 0,1 procent bij n = 80. Voor grote n is Stirling praktisch exact.
Abraham de Moivre vond in 1730 dat n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ voor een bepaalde constante C. James Stirling identificeerde datzelfde jaar C = √(2π). De factor √(2π) komt uit het Gauss-integraal. Leid je de formule van Stirling af via de gammafunctie, dan verschijnt het integraal ∫e^(-t²)dt = √π en zo komt π in de formule terecht.
De logaritmische vorm wordt overal in de natuurkunde gebruikt. In de statistische mechanica vereist Boltzmanns entropieformule S = k·ln(W) de term ln(N!) voor enorme N, dus aantallen deeltjes. Stirling geeft dan ln(N!) ≈ N·ln(N) - N en maakt de berekening hanteerbaar. De volledige asymptotische reeks voegt correcties toe: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯).
Op logaritmische schaal zijn n! en de benadering van Stirling visueel vrijwel identiek. De relatieve fout nadert 0 naarmate n groeit.