Het Basel-probleem vraagt: wat is de exacte waarde van 1+1/4+1/9+1/16+⋯? De reeks convergeert, maar naar wat? Pietro Mengoli stelde het in 1650. Het verbaasde elke wiskundige voor 84 jaar tot Euler loste het op in 1734 bij leeftijd 28.
Partiële sommen naderen π²/6 ≈ 1,6449 langzaam. Euler bewees in 1734 dat de limiet π²/6 is en verbond zo analyse met meetkunde.
Euler's bewijs factoriseerde de Taylor-reeks voor sin (x)/x als een oneindig product over zijn wortels ± π, ± 2 π, ± 3 π… Comparing de x² coëfficiënt de product form naar de Taylor coëfficiënt geeft Σ 1/n² = π²/6 direct. Het is één de meeste celebrated computations in wiskunde, en-de reden π verschijnt here is niet toeval: circles en spheres hebben natural connections naar geheel getal sommen door de Riemann-zètafunctie.
Elke term 1/n^2 wordt snel kleiner. Hun som convergeert exact naar pi^2/6 ≈ 1,6449.
De result generalises: ζ (4)=π⁴/90, ζ (6)=π⁶/945, en alle even zeta waarden zijn rationaal multiples van machten van π. De oneven waarden ζ (3), ζ (5), ζ (7)… zijn ver meer mysterious. Apéry bewees ζ (3) is irrationaal in 1978, maar geen gesloten vorm in termen van π is bekend.
De waarschijnlijkheid dat twee willekeurig gekozen gehele getallen-delen geen gemeenschappelijke factor (zijn onderling ondeelbaar) is precies 6/pi^2, de reciprocal van pi^2/6. Dit is ongeveer 60. 8%. Het verbindt de Basel probleem direct naar getal theory en waarschijnlijkheid.