De Taylorreeks stelt elke gladde functie voor als een oneindig polynoom. Elke coëfficiënt is een afgeleide: de n-de term is f⁽ⁿ⁾(a)/n! maal (x-a)ⁿ. Voor nette functies zoals eˣ, sin(x) en cos(x) convergeert de reeks overal naar de exacte functiewaarde.
Elke extra term vergroot het gebied waarin de benadering goed is. Met meer termen: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
De drie belangrijkste Maclaurin-reeksen zijn: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, die overal convergeert; sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯, eveneens overal; en cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯, ook overal convergent. Vul je x = iπ in in de reeks van eˣ, dan krijg je de identiteit van Euler.
Tabel van Maclaurin-reeksen.
| f(x) | Reeks | Straal |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor formuleerde de algemene stelling in 1715; de speciale vorm rond 0 werd in 1742 gepopulariseerd door Colin Maclaurin. Elke rekenmachine en computer gebruikt Taylorreeksen om transcendente functies te evalueren. De fout na n termen wordt begrensd door de restterm van Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!.
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Elk extra paar termen verhoogt de orde van nauwkeurigheid.
Een Taylorreeks stelt een gladde functie voor als een oneindig polynoom: f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ... De coëfficiënten zijn afgeleiden in het ontwikkelpunt a. Maclaurin-reeksen zijn rond 0 gecentreerd. De drie sleutelreeksen convergeren overal: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Vul je x = i*pi in in de reeks van e^x, dan volgt de identiteit van Euler. Elke rekenmachine gebruikt intern Taylorreeksen om transcendente functies te evalueren.