Een complex getal heeft twee delen: een reëel deel en een imaginaire deel. De imaginaire eenheid i voldoet aan i ²=-1. Elke reëel getal is een complex getal met b=0. Complex getallen vullen een 2D vlak eerder dan een 1D lijn, geeft elke polynoomvergelijking precies als veel wortels als zijn graad.
Multiplying door i is een 90-degree counterclockwise rotatie. Multiplying door i twice (i. e. door i ²) is een 180-degree rotatie, die turns 1 in-1. Dus i ²=-1 is niet een algebraïsch trick; it is een rotatie.
Over de reëel getallen, x²+1=0 heeft geen solution. Over de complexe getallen het heeft twee: i en-i. De Fundamental Stelling van Algebra says: extend naar complexe getallen en elke polynomial van-graad n heeft precies n wortels.
Table tonend polynomials over reals versus complexe getallen, demonstrating elke degree-n polynomial has precies n complex wortels
| POLYNOM | REELLE NULLSTELLEN | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reelle Nullstelle | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 4 |
| Jedes Polynom vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, Vielfachheiten mitgezählt |
Complex getallen extend de reële lijn naar een 2D vlak door introducing i, waar i squared is gelijk aan-1. Elke complex getal z = a + bi heeft een reëel deel een, imaginaire deel b, modulus | z |=sqrt (een squared+b squared), en argument arg (z)=atan (b/een). Multiplication door e^(i*theta) roteert door theta radians. De Fundamental Stelling van Algebra states elke polynomial van-graad n heeft precies n complex wortels counting multiplicity. Complex getallen zijn-de vondation van kwantum mechanica, signal processing, en Euler's identiteit.