Elk reëel getal heeft beste rationale benaderingen: breuken p/q die x beter benaderen dan elke breuk met een kleinere noemer. De noemers q₁, q₂, q₃, … groeien. Maar met welke snelheid? Paul Lévy bewees in 1935 dat voor bijna elk reëel getal qₙ^(1/n) convergeert naar e^β ≈ 3,27582, waarbij β = π²/(12 ln 2).
Voor bijna alle reële getallen groeit ln(qₙ) lineair met helling β ≈ 1,1865. De noemers van de convergenten van π, dus 1, 7, 106, 113, 33102…, groeien gemiddeld sneller omdat de uitzonderlijke partiële noemer 292 optreedt.
De gulden snede φ = [1;1,1,1,…] heeft Fibonacci-noemers 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … die per stap slechts met snelheid φ ≈ 1,618 groeien. Dat is veel langzamer dan e^β ≈ 3,276. Juist daarom geldt φ als het slechtst benaderbare getal door rationale getallen, dus als het “meest irrationele” getal. De meeste getallen hebben noemers die juist veel sneller groeien, met snelheid e^β.
Vergelijking van de groeisnelheid van noemers voor de gulden snede en voor een typisch getal.
| φ = [1;1,1,1,…] | Typische Zahl |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
De waarde β = π²/(12 ln 2) ontstaat uit integratie van de Gauss-Kuzmin-verdeling. De ln 2 komt van rekenen in basis 2, dus binair, en π² verschijnt uit dezelfde bron als in ζ(2) = π²/6. De constante van Lévy begint met 1,1865691104156254… en e^β = 3,275822918721811…
De partiële noemer 292 in stap 5 laat de noemers van π duidelijk sneller groeien dan gemiddeld. Voor een typisch getal geldt ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Teilnenner aₙ | Konvergente pₙ/qₙ | Nenner qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
De constante van Lévy β = π²/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Voor bijna elk reëel getal geldt voor de noemer qₙ van de n-de convergent dat qₙ^(1/n) naar e^β ≈ 3,27582 convergeert. Paul Lévy bewees dit in 1935. De gulden snede, met haar Fibonacci-noemers en groeisnelheid φ ≈ 1,618, ligt ver onder het gemiddelde en bevestigt zo haar reputatie als het moeilijkst rationaal benaderbare getal. In de formule worden π en ln 2 via de Gauss-Kuzmin-verdeling met elkaar verbonden.