Modulaire rekenkunde is rekenen op een cirkel. Twee getallen zijn congruent modulo n wanneer ze van elkaar verschillen met een veelvoud van n. Een klok rekent modulo 12: tien uur na 5 uur is 3 uur en niet 15 uur. Dit eenvoudige idee ligt ten grondslag aan moderne cryptografie, hashfuncties, foutcorrigerende codes en grote delen van de getaltheorie.
Elke rij en elke kolom bevat {0,1,2,3,4} precies één keer. De vijf elementen vormen onder optelling modulo 5 een gesloten groep. Rood markeert sommen die boven 4 uitkomen en terugklappen.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Modulaire rekenkunde definieert congruentie: a is congruent met b modulo n als n het verschil a-b deelt. Gauss systematiseerde dit vakgebied in 1801. Het vormt de basis van alle moderne public-key-systemen. RSA-versleuteling berust op de kleine stelling van Fermat, die zegt dat a^(p-1) congruent is met 1 modulo p, mits p priem is en a niet deelbaar door p. Hashfuncties gebruiken modulaire bewerkingen om grote invoer op vaste uitvoer af te beelden. De gehele getallen modulo n vormen een ring, en als n priem is zelfs een eindig lichaam.