De Fundamental Stelling van Analyse verbindt twee apparently afzonderlijke ideas. Deel 1: als you integrate een functie van een fixed punt naar x, de derivative van dat integraal is de original functie. Deel 2: de definite integraal van f van een naar b is gelijk aan any antiderivative F evaluated bij b min F bij een.
Integreren bouwt oppervlakte op; differentiëren haalt de oorspronkelijke functie weer terug.
Voor dit stelling, computing areas required Riemann sommen: dividing de gebied in thin rectangles, summing them alle, en taking de limiet. De FTC replaces alle van dat met één subtraction. Newton understood dit door 1666 en Leibniz independently door 1675. Their dispute over priority split European en British wiskunde voor een generation.
Elke integraal taught in analyse courses gebruikt Deel 2: find een antiderivative, evalueer bij de endpoints, subtract. Dit works omdat differentiation en integration zijn exacte inverses van elke andere. Het is één de deepest en meeste useful results in alle van wiskunde.
Een Riemann som met 8 rectangles geeft ≈ 0. 273. De exacte answer is 8/3 ≈ 2. 667. De Fundamental Stelling geeft exacte results met geen rectangles needed.
Work done door een variable force F (x) over displacement van een naar b is W=integraal van een naar b van F (x) dx=P (b)-P (een), waar P is de potential energy functie satisfying P'=-F. Velocity integrates naar displacement; force integrates naar impulse. De FTC is wat makes deze calculations tractable eerder dan requiring infinite Riemann sommen.