La constante de Gelfond es e elevado a la potencia π. Su valor aproximado es 23,14069263277927… Demostrar que es trascendente fue el 7.º problema de Hilbert, propuesto en 1900 como una de las 23 cuestiones no resueltas más importantes del siglo XX. Alexander Gelfond lo resolvió en 1934.
e^π se sitúa tentadoramente cerca de 23, pero falla por 0,14. La coincidencia e^π - π ≈ 19,999 es aún más cercana pero igualmente carente de significado.
El teorema de Gelfond-Schneider (1934) establece: si a es algebraico, distinto de 0 y 1, y b es algebraico e irracional, entonces a^b es trascendente. La constante de Gelfond e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Aquí a = −1 (algebraico) y b = −i (algebraico e irracional). El teorema se aplica directamente.
Tabla con ejemplos de números demostrados trascendentes por Gelfond-Schneider
| Expression | a | b | Result |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendental |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendental |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendental |
La casi-coincidencia numérica e^π − π ≈ 19,9990999 no tiene explicación matemática conocida. Probablemente sea una casualidad, pero coincidencias similares (como la constante de Ramanujan) a veces resultan tener razones profundas. e^π se ha calculado con millones de cifras decimales: 23,14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Esto se puede demostrar sin calculadora: la función x^(1/x) tiene un máximo en x=e, por lo que e^(1/e) > π^(1/π), lo que implica e^π > π^e.
La constante de Gelfond e^pi ≈ 23,14069. Demostrar que es trascendente fue el 7.º problema de Hilbert (1900). Gelfond lo resolvió en 1934: si a es algebraico (distinto de 0 y 1) y b es algebraico e irracional, entonces a^b es trascendente. Como e^pi = (-1)^(-i), y -1 y -i son algebraicos con -i irracional, el teorema se aplica. La casi-coincidencia e^pi - pi ≈ 19,999 no tiene explicación matemática conocida.