La serie de Taylor expresa cualquier función suave como un polinomio infinito. Cada coeficiente es una derivada: el término enésimo es f⁽ⁿ⁾(a)/n! por (x-a)ⁿ. Para funciones bien comportadas como eˣ, sin(x) y cos(x), la serie converge al valor exacto de la función en todas partes.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Las tres series de Maclaurin más importantes: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (converge en todas partes); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (converge en todas partes); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (converge en todas partes). Al sustituir x = iπ en la serie de eˣ se obtiene la identidad de Euler.
Table of Maclaurin series
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor enunció el teorema general en 1715; el caso especial centrado en 0 fue popularizado por Colin Maclaurin en 1742. Todas las calculadoras y computadoras usan series de Taylor para evaluar funciones trascendentales. El error después de n términos está acotado por el resto de Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Una serie de Taylor representa una función suave como un polinomio infinito: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Los coeficientes son derivadas en el punto central a. Las series de Maclaurin están centradas en 0. Las tres series clave convergen en todas partes: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Al sustituir x = i*pi en la serie de e^x se demuestra la identidad de Euler. Todas las calculadoras usan series de Taylor internamente para evaluar funciones trascendentales.