El teorema de De Moivre dice que elevar un punto del círculo unitario a la enésima potencia simplemente multiplica su ángulo por n. Si comienzas en el ángulo θ y aplicas la operación n veces, terminas en el ángulo nθ. Este es el corazón geométrico de la aritmética de números complejos.
Partiendo del ángulo θ=40° en el círculo unitario. Elevar al cuadrado duplica el ángulo a 80° (verde). Elevar al cubo lo triplica a 120° (rojo). El punto simplemente rota: su distancia al origen sigue siendo 1.
El teorema se deduce instantáneamente de la fórmula de Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Elevando ambos lados a la potencia n: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre enunció su resultado en 1707, 41 años antes de que Euler publicara la fórmula, haciendo que la demostración pareciera magia en lugar de mecánica.
Las 6 raíces de la unidad forman un hexágono regular en el círculo unitario. Las raíces enésimas de z^n = 1 siempre forman un n-ágono regular, igualmente espaciadas en ángulos 2πk/n = τk/n.
El teorema de De Moivre es la herramienta clave para calcular potencias y raíces de números complejos, derivar fórmulas de ángulo múltiple (cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ) y encontrar las n raíces enésimas igualmente espaciadas de cualquier número complejo. Conecta el álgebra de los números complejos con la geometría de la rotación.
Cuando multiplicas dos números complejos, sus ángulos (argumentos) se suman y sus magnitudes se multiplican. Si ambos están en el círculo unitario (magnitud 1), solo cambian los ángulos. Multiplicar n veces suma el ángulo n veces: eso es el teorema de De Moivre.
El teorema de De Moivre muestra que cos(n*theta) siempre se puede escribir como un polinomio en cos(theta). Estos son los polinomios de Chebyshev T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Por ejemplo, cos(2*theta) = 2*cos²(theta) − 1, así que T_2(x) = 2x² − 1. Aparecen en análisis numérico, diseño de filtros y teoría de aproximación.