La serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, pero crece con una lentitud increíble. Después de un millón de términos apenas llega a 14. El logaritmo natural ln(n) crece al mismo ritmo. La constante de Euler-Mascheroni γ es la brecha precisa entre ambos: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
La diferencia entre la suma armónica y ln(n) se aproxima a γ ≈ 0,5772 cuando n → ∞. La convergencia es muy lenta: la brecha aún es de 0,001 cuando n = 1000.
γ aparece a lo largo del análisis y la teoría de números. Vincula la serie armónica con la función zeta de Riemann: γ = -ζ'(1) en un sentido formal. Aparece en la función Gamma Γ'(1) = -γ, en la distribución de las brechas entre primos, en las funciones de Bessel y en la expansión asintótica de la función digamma.
Si γ es racional o irracional es uno de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas. Casi todos los matemáticos creen que es trascendente, pero no existe una demostración. Se ha calculado con más de 600 mil millones de cifras decimales: 0,57721566490153286060651209008240243…
Las sumas parciales armónicas H(n) (rojo, escalonado) frente a ln(n)+γ (azul, suave). La brecha entre ambas tiende a 0 pero oscila: H(n)−ln(n) → γ.
La constante de Euler-Mascheroni gamma es aproximadamente 0,57721566490153286060. Si es racional o irracional se desconoce, uno de los problemas abiertos más célebres de las matemáticas. Euler la publicó por primera vez en 1734; Mascheroni la calculó de forma independiente en 1790. Gamma aparece en la función Gamma, la función zeta de Riemann, el teorema de Mertens sobre productos de primos, las funciones de Bessel y la distribución de las brechas entre primos. Como no existe un algoritmo de transmisión en flujo, sus dígitos se precalculan y almacenan.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.