Un número es trascendental si no es raíz de ninguna ecuación polinomial con coeficientes enteros. pi no satisface ninguna ecuación como x² - 3x + 1 = 0. e tampoco satisface ninguna ecuación de ese tipo. Existen más allá del alcance del álgebra. A pesar de ser difíciles de nombrar, los números trascendentales son la regla y no la excepción: casi todo número real es trascendental.
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| NUMBER | MINIMAL POLYNOMIAL |
|---|---|
| sqrt(2) = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| phi = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| cbrt(5) = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = sqrt(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| pi = 3.14159... | no polynomial exists |
| e = 2.71828... | no polynomial exists |
| e^pi = 23.1406... | no polynomial exists |
Un número es trascendental si no satisface ninguna ecuación polinomial con coeficientes enteros. Liouville dio el primer ejemplo explícito en 1844. Hermite demostró que e es trascendental en 1873. Lindemann demostró que pi es trascendental en 1882, resolviendo finalmente el antiguo problema de la cuadratura del círculo como imposible. El teorema de Gelfond-Schneider (1934) muestra que a^b es trascendental siempre que a sea algebraico y distinto de 0 o 1, y b sea algebraico e irracional. A pesar de ser la regla y no la excepción, demostrar que un número específico es trascendental sigue siendo extremadamente difícil.