La función zeta de Riemann es ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler estudió la versión real y encontró ζ(2) = π²/6 (el problema de Basilea) y la fórmula del producto ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) sobre todos los primos. Riemann extendió la función a los números complejos en su histórico artículo de 1859.
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | unknown (Apéry) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | trivial zeros |
La idea clave de Riemann: al extender ζ(s) a s complejo, los ceros no triviales (donde ζ(s) = 0 con 0 < Re(s) < 1) controlan la distribución de los números primos. Cada cero aporta una oscilación a la función contadora de primos. Riemann conjecturó en 1859 que todos los ceros no triviales están sobre la recta Re(s) = 1/2. Esta es la hipótesis de Riemann.
Se han verificado más de 10 billones de ceros no triviales sobre Re(s) = 1/2. Nunca se ha encontrado un contraejemplo. El Instituto de Matemáticas Clay ofrece 1 millón de dólares por una demostración (o refutación). Una demostración daría la cota más precisa posible sobre los errores en la distribución de primos. La hipótesis de Riemann lleva 165 años sin demostrarse.
La función zeta de Riemann satisface una simetría: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Esto extiende zeta a todos los números complejos s (excepto s = 1) y relaciona el valor en s con el valor en 1-s. Muestra que los ceros no triviales vienen en pares: si s es un cero, también lo es 1-s. Los ceros triviales en s = -2, -4, -6, ... surgen del factor sin(pi*s/2).
La función zeta de Riemann es zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler la evaluó en enteros pares: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann la extendió a s complejo en 1859 y conjecturó que todos los ceros no triviales están sobre Re(s) = 1/2. Esta hipótesis de Riemann sigue sin demostrarse tras 165 años y es un problema del milenio del Instituto Clay con un premio de 1 millón de dólares. Se han verificado más de 10 billones de ceros sobre la recta crítica. Los ceros controlan la distribución de los primos: cada cero aporta una oscilación a la función contadora de primos.