La aproximación de Stirling establece que para n grande, n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. La aparición de π y e en una fórmula sobre el conteo de permutaciones es notable. Para n = 10 el error es inferior al 1%. Para n = 100 es inferior al 0.1%. La fórmula mejora sin límite a medida que n crece.
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre encontró en 1730 que n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ para cierta constante C. James Stirling identificó C = √(2π) ese mismo año. El factor √(2π) surge de la integral gaussiana: al derivar la fórmula de Stirling mediante la función Gamma, aparece la integral ∫e^(-t²)dt = √π, que introduce π en la fórmula.
La forma logarítmica se utiliza en toda la física: en mecánica estadística, la fórmula de entropía de Boltzmann S = k·ln(W) requiere ln(N!) para N enormes (moles de partículas). Stirling proporciona ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, haciéndolo manejable. La serie asintótica completa añade correcciones: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.