Una fracción continua expresa un número como un entero más el recíproco de otra fracción continua. Todo número real tiene una expansión en fracción continua única. Los racionales terminan; los irracionales cuadráticos se repiten periódicamente; los trascendentales como pi no tienen patrón. Los convergentes (aproximaciones racionales formadas al truncar) son demostrablemente las mejores aproximaciones racionales con ese tamaño de denominador.
Tabla comparando fracciones continuas de phi, sqrt2, e y pi mostrando cuáles son periódicas y cuáles irregulares
| CONSTANT | CF NOTATION | TYPE |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodic |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodic |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodic |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | pattern |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | no pattern |
| Theorem: a CF is periodic if and only if the number is a quadratic irrational (Lagrange, 1770) | ||
| phi is the "hardest" to approximate: its CF of all 1s is the worst possible convergence |
Tabla de convergentes de pi mostrando aproximaciones racionales cada vez más precisas con denominadores pequeños
| CONVERGENT | DECIMAL | ERROR |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 is correct to 6 decimal places with only a 3-digit denominator |
Los convergentes 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternan por encima y por debajo de π. Cada uno es la mejor aproximación racional con ese denominador o menor.
Todo número real tiene una expansión en fracción continua única. Los racionales tienen expansiones finitas. Los irracionales cuadráticos (como sqrt(2) y phi) tienen expansiones eventualmente periódicas. Los trascendentales como pi no tienen patrón. Los convergentes de una fracción continua son las mejores aproximaciones racionales: 22/7 y 355/113 son convergentes de pi, coincidiendo con 2 y 6 decimales respectivamente. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] es el número más difícil de aproximar, lo que lo convierte en el más irracional en un sentido preciso.