√2 es la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario. Coloca un cuadrado con lados de longitud 1 sobre una mesa. La distancia de una esquina a la esquina opuesta es exactamente √2. Esto es el teorema de Pitágoras: 1² + 1² = (√2)².
Los pitagóricos descubrieron hacia 500 a. C. que √2 no puede expresarse como una fracción p/q donde p y q son enteros. La demostración por reducción al absurdo es elegante: supongamos que √2 = p/q en su forma irreducible. Entonces 2q² = p², así que p² es par, luego p es par; escribimos p = 2k. Entonces 2q² = 4k², así que q² = 2k², luego q también es par. Esto contradice que p/q sea irreducible. √2 es irracional.
Convergentes de la fracción continua [1; 2, 2, 2, …]. Cada fracción es la mejor aproximación racional con ese denominador.
Convergents of square root of 2 from continued fraction
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 es algebraico (satisface x² = 2) pero irracional. En trigonometría: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La serie de papel A (A4, A3, A2…) utiliza la proporción 1:√2, de modo que al plegar una hoja por la mitad se mantienen las mismas proporciones. Calculado con precisión completa: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1.41421356237309504880. Fue el primer número cuya irracionalidad se demostró, por los antiguos griegos hacia 500 a. C. Es algebraico, satisfaciendo x² = 2. Aparece como la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario, en la afinación musical de temperamento igual (cada semitono multiplica la frecuencia por la raíz 12.ª de 2), en las dimensiones del papel serie A (A4 plegado da A5, mismas proporciones) y en el teorema de Pitágoras cuando los catetos son iguales.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.