La función e^(−x²) es la campana de Gauss: alcanza su máximo de 1 cuando x = 0 y desciende simétricamente a 0 en ambas direcciones. El área bajo ella a lo largo de toda la recta real es exactamente √π ≈ 1,7724. Esto es notable: e y π, que suelen encontrarse en contextos separados, se unen en la integral más sencilla de la teoría de probabilidades.
La integral de e^(−x²) sobre todo x es igual a √π ≈ 1,7725. Esta es la integral gaussiana. Su raíz cuadrada dividida entre √(2π) da la curva de distribución normal estándar.
La demostración es uno de los trucos más elegantes de las matemáticas. Sea I = ∫e^(−x²)dx. Se calcula I² escribiéndola como una integral doble sobre x e y, y luego se cambia a coordenadas polares r, θ. El integrando se convierte en e^(−r²) y el elemento de área pasa a ser r·dr·dθ. La r hace que la integral sea elemental: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Al multiplicar por ∫₀^(2π) dθ = 2π se obtiene I² = π, por lo tanto I = √π.
La distribución normal, el teorema central del límite, las funciones de onda cuánticas (que usan paquetes de ondas gaussianos) y la aproximación de Stirling para factoriales se basan todos en esta única integral. El valor √π aparece dondequiera que se integre e^(−x²), lo cual resulta ser en prácticamente todo el campo de la probabilidad continua.
La integral gaussiana: la integral de -infinito a +infinito de e^(-x^2) dx = sqrt(pi). La elegante demostración eleva la integral al cuadrado, convierte a coordenadas polares y la evalúa exactamente. Este es el cálculo clave tras la distribución normal: la densidad de probabilidad (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) integra a 1. La función gaussiana aparece en la mecánica cuántica, la difusión del calor, la aproximación de Stirling y el teorema central del límite.