La constante de Erdős-Borwein E es la suma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Los denominadores son los números de Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdős demostró en 1948 que E es irracional, usando solo propiedades elementales de las representaciones binarias.
Las sumas parciales convergen rápidamente a E ≈ 1,6066951524. Los denominadores 2^n−1 crecen geométricamente, haciendo la convergencia mucho más rápida que el problema de Basilea.
La serie converge geométricamente rápido: cada término es aproximadamente la mitad del anterior (ya que 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ para n grande). Con solo 20 términos la suma tiene 6 decimales de precisión. La equivalencia E = Σ d(n)/2ⁿ (donde d(n) cuenta los divisores impares de n) la vincula con la teoría de divisibilidad.
Si E es trascendental es una cuestión abierta. Lo que hace memorable la prueba de irracionalidad de Erdős es su economía: utilizó el hecho de que las representaciones binarias de los denominadores 1, 3, 7, 15, 31… (que son 1, 11, 111, 1111, 11111 en binario) tienen una estructura especial que impide que la suma sea racional. El valor: 1,60669515245214159769492939967985…
Cada denominador 2^n − 1 es aproximadamente el doble del anterior. La suma converge a E ≈1,6066951524.
La constante de Erdős-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdős la demostró irracional en 1948 usando propiedades binarias de los denominadores 2^n − 1. Es igual a la suma de d(n)/2^n donde d(n) cuenta los divisores impares de n. La serie converge rápidamente: cada término es aproximadamente la mitad del anterior. Si es trascendental es desconocido. Valor: 1,60669515245214159769492939967985...