Sumemos los recíprocos de todos los primos hasta n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Esta suma crece, pero extraordinariamente despacio: como ln(ln(n)). La constante de Meissel-Mertens M es la diferencia exacta entre esta suma y su término dominante, del mismo modo que la constante de Euler-Mascheroni γ es la diferencia entre la serie armónica y ln(n).
Euler demostró en 1737 que la suma de todos los recíprocos de los primos diverge. Esto es mucho más difícil que demostrar que hay infinitos primos, y da una medida cuantitativa de cuán densos son. El teorema de Mertens establece que Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), donde M es el término constante exacto.
Comparación entre las constantes de Euler-Mascheroni y de Meissel-Mertens
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M y γ están relacionadas por M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Se desconoce si alguna de las dos constantes es irracional. Ambas se han calculado hasta miles de millones de decimales y se cree que son trascendentes, pero no existe demostración para ninguna. M: 0,261497212847642783755426838608669…
Suma armónica (azul): 2,93; 5,19; 7,49; 9,79. Suma de recíprocos de primos (crece como ln(ln(n))+M): solo 0,84; 1,18; 1,52; 1,85 en los mismos puntos.
La constante de Euler-Mascheroni gamma mide la diferencia entre la serie armónica (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) y ln(n). La constante de Meissel-Mertens M desempeña el mismo papel para la suma de los recíprocos de los primos (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) frente a ln(ln(n)). Ambas son constantes de «corrección de error» para series divergentes que crecen logarítmicamente.
La constante de Meissel-Mertens M ≈ 0,26149 desempeña para los recíprocos de los primos el mismo papel que la constante de Euler-Mascheroni para la serie armónica. Mertens demostró en 1874 que 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + error pequeño. Se desconoce si M es irracional. Aparece en el teorema de Mertens sobre productos de primos y en la densidad de los números suaves. M y gamma están relacionadas por una suma específica sobre todos los primos.