Escribamos π(n) para la cantidad de primos hasta n. El Teorema de los Números Primos dice que π(n) crece como n/ln(n). A medida que n aumenta, aproximadamente 1 de cada ln(n) números cercanos a n es primo. Cerca de un millón, aproximadamente 1 de cada 14 números es primo. Cerca de mil millones, 1 de cada 21.
π(n) cuenta los primos hasta n (escalera azul). El Teorema de los Números Primos establece que π(n) ~ n/ln(n): el cociente → 1 cuando n → ∞. La integral logarítmica Li(n) es aún más precisa.
Gauss conjetura este resultado hacia 1800 tras estudiar tablas de primos. Fue demostrado independientemente en 1896 por Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, ambos usando la función zeta de Riemann y análisis complejo. Una demostración puramente elemental (sin análisis complejo) fue hallada independientemente por Selberg y Erdős en 1948.
Tabla que muestra la densidad de primos a distintas escalas
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
La Hipótesis de Riemann daría la cota más precisa del error: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Sin ella, solo sabemos que el error es o(n/ln(n)). Por eso la Hipótesis de Riemann es el problema abierto más importante de las matemáticas: nos diría exactamente cuán predecibles son los huecos entre primos.
Una aproximación más precisa a pi(n) que n/ln(n) es la integral logarítmica Li(n) = integral de 2 a n de dt/ln(t). Gauss prefería esta forma. Para n = 1.000.000: n/ln(n) da 72.382 mientras que Li(n) da 78.628, frente al conteo exacto de 78.498. El error de Li(n) es mucho menor. La Hipótesis de Riemann acotaría este error precisamente en sqrt(n) * ln(n).