El producto de Wallis expresa π/2 como un producto infinito de fracciones simples: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Cada número par aparece dos veces, una vez mayor y otra menor que sus vecinos. Si se multiplican suficientes términos, el producto converge a π/2 ≈ 1,5708.
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis derivó esta fórmula en 1655 a partir de la integral ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, comparando los casos de n par e impar. Lo que la hace notable es que obtiene π a partir de la multiplicación pura de números racionales, sin geometría alguna. El mismo producto surge de la identidad de la función Gamma: π = Γ(1/2)².
El producto de Wallis converge muy lentamente: después de n pares, el error es del orden de 1/(4n). Tiene una enorme importancia teórica como uno de los primeros productos infinitos estudiados, abriendo el camino al análisis de sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) y a toda la teoría de productos infinitos en análisis complejo.
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.