Todo número real tiene una fracción continua: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Los enteros a₁, a₂, a₃, … son los cocientes parciales. Para π son 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Para √2 son 1; 2, 2, 2, 2, 2… (periódicos, todos 2). Khinchin demostró en 1934 que para casi todo número real, la media geométrica de los cocientes parciales converge a la misma constante K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). The partial quotient 1 appears in ~41% of all continued fraction expansions of random real numbers.
La fórmula de K₀ es K₀ = ∏(k=1 hasta ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)), que converge extremadamente lento. El teorema de Khinchin es un ejemplo de un resultado que es cierto para casi todo número, pero que no puede verificarse para ninguna constante específica conocida. No podemos exhibir ni un solo caso confirmado de un número que lo cumpla.
By k=3 over two-thirds of all partial quotients are accounted for. The sequence converges slowly toward 1.
El hecho de que el 1 domine (41,5%) explica por qué K₀ ≈ 2,685 es menor que 3: los valores pequeños arrastran la media geométrica hacia abajo. Si todos los dígitos del 1 al 9 fueran igualmente probables, la media geométrica sería (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. La fuerte ponderación hacia el 1 hace que K₀ sea considerablemente menor.
La constante de Khinchin K0 ≈ 2,68545 es un límite universal: para casi todo número real x = [a0; a1, a2, ...], la media geométrica de los cocientes parciales (a1*a2*...*an)^(1/n) converge a K0. Demostrado por Khinchin en 1934. Lo sorprendente es su universalidad: casi todos los números comparten esta media geométrica, pero el resultado no puede verificarse para ninguna constante conocida como pi o e. Si K0 es algebraico o trascendental es un problema abierto.