La identidad de Euler se deriva de la fórmula de Euler: eix = cos(x) + i·sin(x). Al sustituir x = π se obtiene eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, por lo tanto eiπ + 1 = 0.
eiθ recorre el círculo unitario. Una rotación de π llega a −1. Sumamos 1 y obtenemos 0.
Conecta la aritmética (0 y 1), el álgebra (i), la geometría (π) y el análisis (e) — cuatro ramas distintas de las matemáticas — en una sola ecuación de asombrosa simplicidad. Richard Feynman la llamó “la fórmula más notable de las matemáticas.”
Leonhard Euler (1707–1783) publicó la fórmula eix = cos(x) + i·sin(x) en su Introductio in analysin infinitorum (1748). La identidad es el caso especial cuando x = π. Euler introdujo o popularizó las notaciones e, i, f(x), Σ y π.
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
La fórmula e^(i*theta) traza un círculo unitario en el plano complejo a medida que theta aumenta. e^(i*pi) es una rotación de exactamente pi radianes (180 grados) desde 1, llegando a -1. Sumar 1 te devuelve a 0. Por eso e^(i*pi) + 1 = 0: es un medio giro del plano complejo expresado como ecuación.
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
La identidad de Euler e^(i*pi) + 1 = 0 une las cinco constantes más importantes de las matemáticas: e (la base de los logaritmos naturales), i (la unidad imaginaria), pi (la constante del círculo), 1 (la identidad multiplicativa) y 0 (la identidad aditiva). Se deduce directamente de la fórmula de Euler e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta) al sustituir theta = pi. Como cos(pi) = -1 y sin(pi) = 0, obtenemos e^(i*pi) = -1. Publicada por primera vez por Euler alrededor de 1748. Votada como la ecuación más bella de las matemáticas en múltiples encuestas.