La serie armónica es la suma de todas las fracciones unitarias. Cada término 1/n tiende a cero, lo que podría sugerir que la suma converge, pero no es así. La demostración usa agrupación: 1/3+1/4 > 1/2, luego 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, y cada grupo añade al menos 1/2, de modo que el total supera cualquier cota. Sin embargo, diverge con una lentitud extraordinaria: alcanzar una suma parcial de 100 requiere más términos que átomos hay en el universo observable.
H(n) y ln(n) crecen juntas, siempre diferenciándose en aproximadamente γ ≈ 0,5772. Ambas divergen: alcanzar H(n) = 100 requiere unos 10^43 términos.
Se necesitan ~10^43 términos para alcanzar H(n)=100. Más que átomos en el universo observable.
La serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverge, demostrado por Nicole Oresme alrededor de 1350. Aunque cada término tiende a cero, la suma supera cualquier cota. Las sumas parciales crecen como ln(n) + gamma, donde gamma ≈ 0,5772 es la constante de Euler-Mascheroni. Después de un millón de términos la suma es solo aproximadamente 14. Alcanzar 100 requiere más de 10^43 términos. La serie alternada 1 - 1/2 + 1/3 - ... converge a ln 2.