Un número complejo tiene dos partes: una parte real y una parte imaginaria. La unidad imaginaria i satisface i² = −1. Todo número real es un número complejo con b = 0. Los números complejos llenan un plano 2D en lugar de una recta 1D, dando a toda ecuación polinomial exactamente tantas raíces como su grado.
Multiplicar por i es una rotación de 90 grados en sentido antihorario. Multiplicar por i dos veces (es decir, por i²) es una rotación de 180 grados, que convierte 1 en −1. Así que i² = −1 no es un truco algebraico; es una rotación.
Sobre los números reales, x²+1=0 no tiene solución. Sobre los números complejos tiene dos: i y −i. El teorema fundamental del álgebra dice: extiéndete a los complejos y todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces.
Tabla que muestra polinomios sobre reales frente a complejos, demostrando que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas
| POLYNOMIAL | REAL ROOTS | COMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 real roots | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 real root | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 real roots | 4 |
| Every degree-n polynomial has exactly n complex roots (counting multiplicity) |
Los números complejos extienden la recta real a un plano 2D introduciendo i, donde i al cuadrado es igual a −1. Todo número complejo z = a + bi tiene parte real a, parte imaginaria b, módulo |z| = sqrt(a² + b²) y argumento arg(z) = atan(b/a). Multiplicar por e^(i*theta) rota theta radianes. El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas contando multiplicidad. Los números complejos son la base de la mecánica cuántica, el procesamiento de señales y la identidad de Euler.