En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Si los catetos son a y b, y la hipotenusa es c, entonces a² + b² = c². Un triángulo 3-4-5 cumple 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
Tablillas de arcilla babilónicas del 1900 a. C. enumeran ternas pitagóricas (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), lo que demuestra que el resultado se conocía empíricamente mucho antes de Pitágoras. Su escuela (hacia 570 a. C.) proporcionó la primera demostración. Hoy se conocen más de 370 demostraciones distintas, incluyendo algebraicas, geométricas, trigonométricas y una publicada por el presidente estadounidense James Garfield en 1876.
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
En n dimensiones: la distancia desde el origen hasta (x₁, x₂, …, xₙ) es √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). El último teorema de Fermat (demostrado por Andrew Wiles en 1995 tras 358 años) demuestra que no existen soluciones enteras para aⁿ + bⁿ = cⁿ cuando n es mayor que 2. El teorema de Pitágoras es el caso n=2 con infinitas soluciones enteras.
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
En todo triángulo rectángulo: a^2 + b^2 = c^2. Conocido empíricamente por los babilonios hacia 1800 a. C.; demostrado por primera vez por los pitagóricos hacia 570 a. C. Existen más de 370 demostraciones distintas, incluida una del presidente estadounidense James Garfield en 1876. Las soluciones enteras son ternas pitagóricas: todas se generan mediante (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). El último teorema de Fermat (demostrado por Wiles, 1995) muestra que no existen soluciones enteras análogas para exponentes superiores a 2. El teorema se extiende a n dimensiones como la fórmula de distancia euclidiana.