ζ(3) es el valor de la función zeta de Riemann en 3: la suma de 1/n³ sobre todos los enteros positivos. Para entradas pares, Euler encontró bellas formas cerradas: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Para entradas impares no existe tal fórmula. Si ζ(3) involucra a π de alguna manera sigue siendo desconocido.
z(3) se sitúa entre dos valores con formas cerradas conocidas que involucran pi. Si z(3) involucra a pi sigue siendo desconocido.
En 1978, Roger Apéry anunció una demostración de que ζ(3) es irracional. El público se mostró escéptico. Henri Cohen y otros matemáticos corrieron a casa para verificarla en computadoras durante la noche. A la mañana siguiente confirmaron que era correcta. “Fue como un trueno en un cielo despejado”, dijo uno de los asistentes. Apéry tenía 64 años.
Las sumas parciales 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... se aproximan a ζ(3) ≈ 1,20206 desde abajo. La convergencia es lenta: incluso con n=50 la suma aún dista 0,003.
Si ζ(3) puede expresarse en términos de π es la gran pregunta abierta. Todos los valores pares de zeta son múltiplos racionales de la potencia correspondiente de π. Los valores impares de zeta parecen vivir en un mundo diferente. Se sabe que infinitos valores impares ζ(2n+1) son irracionales (Rivoal, 2000), pero el patrón exacto sigue siendo misterioso. Valor completo: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = número racional × π^(2k) para todo k par. Euler lo demostró para todos los valores pares. Pero ζ(3), ζ(5), ζ(7)... son completamente diferentes. ζ(3) es irracional (Apéry), pero no se conoce ninguna relación con π. Podría ser verdaderamente independiente de π.
Tabla de zeta en enteros pares (fracciones de pi conocidas) frente a enteros impares (desconocidos)
| Even s: exact formulas | Odd s: mystery |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unknown |
| All = rational × π^s | No π connection known |
Se desconoce. Roger Apéry demostró en 1978 que zeta(3) es irracional, pero si es trascendental sigue siendo un problema abierto. Se cree ampliamente que es trascendental, pero no existe ninguna prueba.
En la electrodinámica cuántica (correcciones al momento magnético del electrón), la teoría de matrices aleatorias y la entropía del modelo de Ising bidimensional. Aparece en las distribuciones de Fermi-Dirac y Bose-Einstein en mecánica estadística.
Ramanujan encontró series rápidamente convergentes para zeta(3), incluyendo una fórmula que involucra 7pi^3/180 y sumas sobre exponenciales. Sus cuadernos contenían docenas de identidades relacionadas con zeta(3), la mayoría demostradas décadas después de su muerte.
Enteros A(n) = suma de C(n,k)² C(n+k,k)² sobre k, que aparecen en la demostración de irracionalidad de Apéry. Los primeros son 1, 5, 73, 1445, 33001. Satisfacen una relación de recurrencia y crecen de tal manera que obligan a los denominadores de las sumas parciales de 1/n^3 a cancelar factores específicos, haciendo que el límite sea irracional.
La constante de Apéry zeta(3) es la suma 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. Para valores pares de s, Euler encontró formas cerradas con pi: zeta(2) = pi²/6, zeta(4) = pi⁴/90. Para valores impares no se conoce tal fórmula. Roger Apéry demostró que zeta(3) es irracional en 1978 a los 64 años. Si es trascendental o expresable en términos de pi sigue siendo desconocido.