Un número es irracional si no se puede expresar como una fracción p/q donde p y q son enteros. Su expansión decimal nunca termina y nunca se repite. sqrt(2), pi, e y phi son todos irracionales. No son excepciones ni curiosidades: la gran mayoría de los números reales son irracionales.
Azul: números racionales (fracciones exactas). Rojo: números irracionales (decimales no periódicos). Entre dos racionales cualesquiera hay un irracional, y viceversa.
Tabla comparativa de números racionales con decimales que terminan o se repiten frente a números irracionales con decimales que nunca se repiten ni terminan
| RATIONAL: terminates or repeats | IRRATIONAL: never repeats |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| terminates | no pattern, ever |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| repeating block: {3} | no pattern, ever |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| repeating block: {142857} | no pattern, ever |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| repeating block: {45} | no pattern, ever |
Los números racionales, a pesar de ser infinitamente numerosos, se pueden listar (son numerables). Los irracionales no se pueden listar. Si se eligiera un número real al azar, la probabilidad de que fuera racional es exactamente cero.
Un número es irracional si no se puede escribir como una fracción p/q con enteros p y q. Su expansión decimal nunca termina y nunca se repite. Los pitagóricos demostraron que sqrt(2) es irracional alrededor del 500 a.C., un descubrimiento impactante para la época. Lambert demostró que pi es irracional en 1761, y Euler hizo lo mismo con e en 1737. La mayoría de los números reales son irracionales: los racionales son infinitos numerables pero los irracionales son no numerables, así que elegir un número real al azar da un irracional con probabilidad 1. Los irracionales algebraicos satisfacen ecuaciones polinomiales; los trascendentes no.