El problema de Basilea pregunta: ¿cuál es el valor exacto de 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? La serie converge, pero ¿a qué? Pietro Mengoli lo planteó en 1650. Desconcertó a todos los matemáticos durante 84 años hasta que Euler lo resolvió en 1734 a los 28 años.
Las sumas parciales se aproximan lentamente a π²/6 ≈ 1,6449. Euler demostró que el límite es π²/6 en 1734, conectando el análisis con la geometría.
La demostración de Euler factorizaba la serie de Taylor de sin(x)/x como un producto infinito sobre sus raíces ±π, ±2π, ±3π… Al comparar el coeficiente de x² de la forma del producto con el coeficiente de Taylor se obtiene directamente Σ 1/n² = π²/6. Es uno de los cálculos más célebres de las matemáticas, y la aparición de π aquí no es coincidencia: los círculos y las esferas tienen conexiones naturales con sumas de enteros a través de la función zeta de Riemann.
Cada término 1/n² disminuye rápidamente. Su suma converge exactamente a pi²/6 ≈1,6449.
El resultado se generaliza: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, y todos los valores pares de zeta son múltiplos racionales de potencias de π. Los valores impares ζ(3), ζ(5), ζ(7)… son mucho más misteriosos. Apéry demostró que ζ(3) es irracional en 1978, pero no se conoce ninguna forma cerrada en términos de π.
La probabilidad de que dos enteros elegidos al azar no compartan ningún factor común (sean coprimos) es exactamente 6/pi², el recíproco de pi²/6. Esto es aproximadamente un 60,8%. Conecta el problema de Basilea directamente con la teoría de números y la probabilidad.