φ (phi) es la solución positiva de x² = x + 1. Esta ecuación tiene un significado geométrico: si se divide un segmento de modo que la proporción del todo respecto a la parte mayor sea igual a la de la parte mayor respecto a la menor, esa proporción es φ. Ningún otro número posee esta propiedad de autosimilitud.
Tabla de cocientes de Fibonacci convergiendo a phi
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
La proporción áurea aparece en el pentágono y el pentagrama regulares, donde las diagonales se intersecan en proporción áurea. Cada número de Fibonacci dividido entre el anterior se aproxima a φ. La fracción continua [1; 1, 1, 1, …] es la fracción continua infinita más simple: solo unos. Esto hace de φ el número más difícil de aproximar con fracciones, ganándose el título de «el número más irracional».
Corta un cuadrado de un rectángulo áureo. La pieza restante es otro rectángulo áureo, reducido por un factor 1/φ. Repítelo infinitamente. El arco traza la espiral áurea que se observa en conchas y galaxias.
φ satisface φ² = φ + 1, por lo que φ = 1 + 1/φ. Sustituyendo repetidamente: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Esta fracción continua infinita de puros unos es a la vez la definición y la razón de su condición de «el más irracional». Valor con precisión completa: 1,61803398874989484820…
En un pentágono regular con lado 1, cada diagonal mide φ ≈ 1,618. Las diagonales también se dividen entre sí en proporción áurea. Traza las cinco diagonales y obtendrás un pentagrama: lleno de proporciones áureas.
La proporción áurea phi es aproximadamente 1,61803398874989484820. Es la solución positiva de x² = x + 1. Phi es irracional, algebraico y el cociente límite de números de Fibonacci consecutivos. Aparece en el pentágono regular y el icosaedro, en las espirales de semillas de girasol y en las proporciones estudiadas desde la antigua Grecia. Su fracción continua [1; 1, 1, 1, ...] lo convierte en el número real más difícil de aproximar con fracciones, razón por la cual la filotaxis utiliza el ángulo áureo derivado de phi.
Proporción Áurea φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the fórmula cuadrática.