Las matemáticas han construido cinco sistemas numéricos principales, cada uno una extensión del anterior. Cada extensión fue motivada por una ecuación sin solución: «qué es 3-5?» forzó los enteros; «qué es 1/3?» forzó los racionales; «qué es sqrt(2)?» forzó los reales; «qué es sqrt(-1)?» forzó los números complejos.
Tabla de propiedades ganadas y perdidas al extender los sistemas numéricos
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (integers) | subtraction, negatives | no division |
| Q (rationals) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
Azul: números naturales ℕ. Verde añade el 0. Morado extiende a los enteros negativos ℤ. Naranja añade fracciones ℚ. Rojo: los irracionales llenan el resto de ℝ.
Las matemáticas tienen cinco sistemas numéricos principales: números naturales N (contar, sin resta), enteros Z (añaden la resta y los negativos), racionales Q (añaden la división), reales R (añaden límites e irracionales), complejos C (añaden sqrt(-1)). Cada extensión resolvió una ecuación irresoluble en el sistema anterior. Los números complejos son algebraicamente cerrados: toda ecuación polinómica tiene solución en C. La inclusión es estricta: N dentro de Z dentro de Q dentro de R dentro de C, con los trascendentes llenando el anillo exterior de R.