겔폰트 상수는 e를 π제곱한 수다. 근삿값은 23.14069263277927… 이다. 이 수가 초월수임을 증명하는 문제는 1900년 힐베르트가 20세기의 가장 중요한 미해결 문제 23개 중 하나로 제시한 7번째 문제였다. 알렉산드르 겔폰트가 1934년에 이를 해결했다.
e^π는 23에 아주 가깝지만 약 0.14만큼 빗나간다. e^π - π ≈ 19.999 라는 우연도 더 가깝지만, 역시 알려진 의미는 없다.
겔폰트-슈나이더 정리(1934)는 a가 0과 1이 아닌 대수적 수이고, b가 대수적이면서 무리수이면 a^b는 초월수라고 말한다. 겔폰트 상수는 e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) 로 쓸 수 있다. 여기서 a = −1 은 대수적 수이고, b = −i 역시 대수적이면서 무리수다. 따라서 정리를 직접 적용할 수 있다.
겔폰트-슈나이더 정리로 초월수임이 증명되는 수들의 예를 보여 주는 표
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
수치적으로 e^π − π ≈ 19.9990999 라는 거의 맞는 우연이 있지만, 이에 대한 알려진 수학적 설명은 없다. 아마 단순한 우연일 가능성이 크지만, 라마누잔 상수처럼 비슷한 우연이 깊은 이유를 가진 경우도 있다. e^π는 수백만 자리 이상까지 계산되었으며 값은 23.14069263277926900572908636794854738… 이다.
e^π > π^e 이다. 계산기 없이도 증명할 수 있는데, 함수 x^(1/x)가 x=e 에서 최대를 가지므로 e^(1/e) > π^(1/π), 따라서 e^π > π^e 가 된다.
겔폰트 상수 e^π ≈ 23.14069 는 힐베르트의 7번째 문제의 대표적인 해답이다. 겔폰트는 1934년에 a가 대수적(0과 1 제외)이고 b가 대수적 무리수이면 a^b는 초월수라는 정리를 증명했다. e^π = (-1)^(-i) 이므로, -1과 -i는 모두 대수적이고 -i는 무리수이어서 정리가 적용된다. e^π - π ≈ 19.999 라는 근사적 우연에는 알려진 수학적 설명이 없다.