월리스 곱은 π/2를 단순한 분수의 무한 곱으로 나타냅니다: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ 각 짝수는 두 번 나타나며, 이웃보다 한 번은 크고 한 번은 작습니다. 충분히 많은 항을 곱하면 그 곱은 π/2 ≈ 1.5708에 수렴합니다.
월리스 곱: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... 부분곱은 아래에서 π/2 ≈ 1.5708에 수렴하며 극한 주위를 진동합니다.
존 월리스는 1655년에 적분 ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx에서 짝수와 홀수 n의 경우를 비교하여 이 공식을 유도했습니다. 놀라운 점은 기하학 없이 유리수의 순수한 곱셈만으로 π를 유도한다는 것입니다. 같은 곱은 감마 함수 항등식 π = Γ(1/2)²에서도 나타납니다.
월리스 곱은 매우 느리게 수렴합니다: n쌍 후의 오차는 1/(4n) 정도입니다. 이것은 최초로 연구된 무한곱 중 하나로서 엄청난 이론적 중요성을 가지며, sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²)의 분석과 복소해석학에서의 전체 무한곱 이론의 길을 열었습니다.
짝수 n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. 홀수 n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. 인접 적분의 비율 I(2n)/I(2n+1) → 1이 되어 월리스 곱을 줍니다.