e는 함수 eˣ가 자기 자신의 도함수인 유일한 수다. 어떤 양이 있고 그것이 연 100%의 비율로 연속적으로 증가한다고 하자. 정확히 1년 뒤 그 양은 처음의 e배가 된다. 이런 자기참조적 성질을 갖는 밑은 e뿐이다.
n이 커질수록 이 수열은 아래에서부터 e에 가까워지며, 2.71828182845904… 로 수렴한다.
(1+1/n)^n 이 e로 수렴하는 값을 보여 주는 표
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
복리 해석은 이렇다. 은행이 연 100%의 이자를 주되 1년에 n번 복리로 계산하면 잔액은 (1 + 1/n)ⁿ 만큼 불어난다. 월복리면 2.613, 매초 복리면 2.718에 가깝다. 연속복리를 취하면 정확히 e가 된다.
x=1에서 곡선의 높이는 e ≈ 2.718이고 접선의 기울기도 역시 e다. 어떤 다른 밑 b^x도 이런 성질을 갖지 않는다.
야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 e를 발견했다. 오일러는 1731년경 이 수에 e라는 이름을 붙였다. e는 무리수(오일러, 1737)이고 초월수(에르미트, 1873)다. 그 소수 전개 2.71828182845904523536… 은 끝나지 않고 반복되지 않는다.
처음 $1에서 연 100% 이자라고 하자. 월복리면 $2.613, 일복리면 $2.714, 매초 복리면 $2.718이다. n→∞ 한계가 정확히 e다.
e는 약 2.71828182845904523536이다. eˣ는 모든 점에서 자기 자신의 도함수와 같은 유일한 함수다. 야코프 베르누이는 1683년 복리를 연구하다가 이 수를 발견했고, 레온하르트 오일러는 1731년경 이를 e라고 불렀다. e는 무리수이자 초월수이며, 연속 성장과 감쇠, 자연로그, 정규분포, 복리, 방사성 붕괴, 그리고 오일러의 항등식 e^(iπ)+1=0에 등장한다.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the taylor series.