연분수는 어떤 수를 정수와 또 다른 연분수의 역수로 차례차례 표현하는 방식이다. 모든 실수는 유일한 연분수 전개를 갖는다. 유리수는 유한하게 끝나고, 이차 무리수는 주기적으로 반복되며, π 같은 초월수는 뚜렷한 패턴이 없다. 중간에서 잘라 얻는 수렴분수들은 그 정도 분모 크기에서 가능한 유리수 근사 가운데 가장 좋은 것임이 증명된다.
φ, √2, e, π의 연분수를 비교하여 어떤 것은 주기적이고 어떤 것은 불규칙한지 보여 주는 표
| KONSTANTE | KB-NOTATION | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodisch |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodisch |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodisch |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | Muster |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | kein Muster |
| Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irrational ist (Lagrange, 1770) | ||
| phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz |
π의 수렴분수를 표로 나타내어, 작은 분모로도 점점 더 정확한 유리수 근사가 얻어짐을 보여 준다.
| KONVERGENT | DEZIMAL | FEHLER |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt |
수렴분수 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 는 π의 위와 아래를 번갈아 오간다. 각각은 그 분모 이하에서 가능한 최선의 유리수 근사다.
모든 실수는 유일한 연분수 전개를 가진다. 유리수는 유한 전개를 갖고, 이차 무리수(√2나 φ 같은 수)는 결국 주기적인 전개를 갖는다. π 같은 초월수는 규칙적인 패턴이 없다. 연분수의 수렴분수는 최적의 유리수 근사다. 예를 들어 22/7과 355/113은 π의 수렴분수로 각각 소수 둘째 자리와 여섯째 자리까지 맞춘다. φ = [1; 1, 1, 1, …] 는 정확히 근사하기 가장 어려운 수라서 엄밀한 의미에서 가장 “무리수다운” 수로 여겨진다.